Forschungsprojekt ::

Interpolation mit Kernfunktionen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Projektbeschreibung

Die Approximation mit Kernfunktionen wird in vielen Bereichen der Wissenschaft und Ingenieurtechnik verwendet. Außerdem spielen diese Kernfunktionen eine wichtige Rolle im Maschinellen Lernen, beim Lösen partieller Differentialgleichungen und in der Geostatistik. Besonders die Approximation von Daten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten hat in den letzten Jahren an Bedeutung gewonnen, zum Beispiel für globale Wettermodelle. Strikt positiv definite Kerne erlauben die Konstruktion von Approximationen aus beliebig verteilten Messdaten. Die theoretischen Grundlagen dieser Kerne auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten sind jedoch noch wenig erforscht. Ziel dieses Projektes ist es die strikt positiv definiten Kerne auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu charakterisieren und eine Untersuchung ihrer Approximationseigenschaften durchzuführen. In späteren Projektteilen sollen bedingt positiv definite Kerne charakterisiert und untersucht werden. Hierbei wird die Approximation nicht nur aus Linearkombinationen der Kernfunktionen gebildet, sondern die Addition bestimmter Funktionen aus endlich-dimensionalen Räumen ist zulässig. Ein weiterer wichtiger Zweck des Projekts ist die Untersuchung von Kernen, die invariant unter bestimmten Untergruppen der isometrischen Gruppe der Riemannschen Mannigfaltigkeit sind, wie zum Beispiel Reflexionen oder Rotationen. Insgesamt sollten es die Ergebnisse den Anwendern erlauben passendere Kerne zu identifizieren oder zu konstruieren. Außerdem werden bestehende Theorien zu einzelnen Mannigfaltigkeiten vereinheitlicht und erweitert.