Forschungsprojekt ::

Beziehung zwischen der Cauchyschen und der Poissonschen Integralformel bei hypermonogenen und harmonischen Funktionen

Projektbeschreibung

In der Funktionentheorie auf \C lässt sich mit Hilfe der Kreisspiegelung das Poisson-Integral für Kreisscheiben auf die Cauchysche Integralformel zurückführen und umgekehrt.

In den letzten 10 Jahren wurden von Heinz Leutwiler und Sirkka-Liisa Eriksson die sogenannten hypermonogenen Funktionen mit Werten in Clifford-Algebren eingeführt. Deren Komponenten sind hyperbolisch harmonische Funktionen. Im Jahre 2004 fand Eriksson eine Integralformel von Cauchyschem Typ für solche Funktionen, die 2007 von Leutwiler verfeinert wurde.

In meiner Habilitationsschrift habe ich den Poisson-Kern für hyperbolisch harmonische Funktionen auf Kugeln in Reihendarstellung angeben können. Die Erwartung, dass ein Zusammenhang zwischen dem entsprechenden Poisson-Integral und der Integralformel von Leutwiler und Eriksson hergestellt werden kann, ist berechtigt. Ein solcher Zusammenhang wäre vielversprechend, beispielsweise was die Darstellbarkeit des Poisson-Kerns mittels eines geschlossenen Ausdrucks betrifft. Mit diesbezüglichen Untersuchungen habe ich bereits begonnen und möchte sie fortsetzen.