Forschungsprojekt ::

Poisson-Integrale und andere Integraldarstellungen harmonischer Funktionen

Projektbeschreibung

Ist M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, \Omega eine offene Teilmenge von M und f: \partial \Omega --> \R stetig, so lässt sich die Lösung H_f des Dirichlet-Problems für (\Omega,f) unter Bedingungen allgemeiner Natur als Poisson-Integral darstellen:

H_f(z)=\int_{\partial\Omega}P(z,x)f(x)d\mu(x)

(\mu ein "natürliches" Maß auf \partial \Omega). In den vergangenen Jahren konnte ich für bestimmte Gebiete \Omega in euklidischen sowie in nichteuklidischen Räumen M explizite Darstellungen von P gewinnen. Dabei traten spezielle Funktionen in Erscheinung, insbesondere die Hypergeometrische Funktion, und geometrische Eigenschaften von P offenbarten sich. In diesem Zusammenhang waren auch Desintegrationseigenschaften des Poisson-Integrals, wie sie erstmals von Marco Vignati in den 1980er Jahren bei euklidischen Kugeln entdeckt worden waren, von Interesse.

Das Studium des Poisson-Integrals möchte ich auf weitere Gebietsklassen \Omega und Riemannsche Mannigfaltigkeiten M fortsetzen. Dies kann auch bei Globalitätsbetrachtungen nützlich sein, wie der Fall einer maximalen Kugel im (kompakten) elliptischen Raum gezeigt hat, bei der die Mittelwerteigenschaft nicht nur für das Zentrum, sondern für jeden Punkt dieser Kugel gültig bleibt.