Forschungsprojekt ::

Abtasttheorie und Basen aus Exponentialfunktionen: neue Techniken sowie Anwendungen in der Nachrichtentechnik

Projektbeschreibung

Die Abtasttheorie ist ein aktives Forschungsgebiet der Mathematik und spielt eine zentrale Rolle in den angewandten Wissenschaften und der Elektrotechnik. In den letzten Jahren wurden grundlegende Fortschritte in der klassischen Abtasttheorie und in der Theorie von Basen und Frames aus Exponentialfunktionen erzielt. Zu diesem Zweck wurden neue konstruktive Methoden entwickelt und funktionalanalytische Erkenntnisse, die in den bahnbrechenden Arbeiten zum Kadison-Singer Problem entwickelt wurden, angewendet. Aufbauend auf verschiedenen neuen Konstruktionen von Riesz-Basen von Exponentialfunktionen auf endlichen Vereinigungen von Intervallen werden wir Hierachien von Riesz-Basen für entsprechende Hierarchien von Hilberträumen von Funktionen konstruieren. Darüber hinaus werden wir Ergebnisse bezüglich fehlender gleichmäßiger Konvergenz der Whittaker-Shannon-Interpolationsformel für nicht-quadratintegrierbaren Funktionen auf Rekonstruktionsformeln ausweiten, die auf unregelmäßigen Abtastwerten basieren, wie sie beispielsweise von Papoulis entwickelt wurden. Die positiven Lösung des Kadison-Singer-Problems etablierte die Existenz von Frames aus Exponentialfunktionen für jeden Raum von quadratintegrablen Funktionen auf Mengen mit endlichem Maß. Wir hoffen, für diese und ähnliche Anwendungen der Lösung des Kadison-Singer-Problems auf Barrier-Methoden zurückgreifen zu können um verfeinerte und/oder konstruktive Resultate zu erhalten. Wir erwarten, dass die vielfältigen und eng verwandten Forschungsschwerpunkte in diesem Projekt zu einer signifikanten gegenseitigen Befruchtung führen werden. Die hier behandelten Fragen beziehen sich auf Grundlagen der Nachrichtentechnik und haben einen direkten Bezug zu aktuellen Fragestellungen der Datenübertragung. Zum Beispiel zeigt der Satz von Balian-Low für Unterräume, dass das Balian-Low Phänomen selbst für Gabor-Systeme mit nicht-kritischer Dichte nicht vollständig vermeiden kann. Dies kann Auswirkungen auf die Mobilkommunikation der fünften Generation haben, in welcher Zeit-Frequenz-Übertragungsverfahren, wie zum Beispiel Orthogonal-Frequency-Division-Multiplexing, verwendet werden. Wir orientieren uns an diesen Fragestellungen und hoffen, von unserer Zusammenarbeit mit Elektrotechnikern in der Abtasttheorie und der Nachrichtentechnik zu profitieren